结论

忽略 “0.5 像素问题”

假设缩放系数是 s，则：

推导

设3D空间中的点 ( x , y , z ) 投影到图像上的像素坐标（连续值，以左上角像素的左上角为原点的坐标系，注意与整数值的图像像素索引相区别）为 (u, v) ，深度为 d，图像内参 $I$ ，外参为 $E$

u d v d d = I_{3 \times 3} E_{3 \times 4} x y z 1

记：

I_{3 \times 3} E_{3 \times 4} = M_{3 \times 4} = m_{1} m_{2} m_{3}, P = x y z 1

其中 $m_{i} \in R^{1 \times 4}$ ，易得：

u d v d d = m_{1} P = m_{2} P = m_{3} P

对于3D空间中的同一个点，其投影到缩放前后图像上的相对位置是相同的（图中黄点）。换句话说，若以左上角像素的左上角为原点建立图像坐标系，其在缩放前后图像中的坐标（分别记为 $(u, v)$ 和 $(u', v')$ ），二者之比即为 $(\frac{1}{s _{1}}, \frac{1}{s _{2}})$
由深度的几何（物理）含义可知同一个点在缩放前后图像中的深度不变

因此：

⎩ ⎨ ⎧ u d v d d = s_{1} u d^{'} = m_{1}^{'} P = s_{2} v d^{'} = m_{2}^{'} P = d^{'} = m_{3}^{'} P

可知：

m_{1}^{'} = s_{1} m_{1}, m_{2}^{'} = s_{2} m_{2}

故结论为：图像缩放时，内外参矩阵之积的第一行需要乘上宽的缩放因数，第二行需要乘上高的缩放因数。==而外参矩阵不会随图像缩放变化。==

进一步结论为：

原内参矩阵：

K = f_{x} 00 0 f_{y} 0 c_{x} c_{y} 1

现内参矩阵：

K^{'} = s_{1} f_{x} 00 0 s_{2} f_{y} 0 s_{1} c_{x} s_{2} c_{y} 1